$equação Graceli quântica []$

$\psi ^{*}$

equação Graceli tensorial quântica [1]

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$equação Graceli tensorial quântica [2]$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

EQUAÇÃO QUÂNTICA TENSORIAL GRACELI.

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = ${\hat {H}}$ $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ =

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = É O TENSOR GRACELI TENSÃO ENERGIA DE FLUXOS DE DILATAÇÕES E RETRAÇÕES COM CURVATURAS E SIMÉTRICO .

G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ [DR] = $F^{\mu \nu }$ $T^{\mu \nu }$ $P^{\mu }\!$ $\eta _{\mu \nu }$ / [ $\psi$ $\lambda$ ω $/ T] =$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${R_{ij}=R_{iaj}^{a}=\partial _{b}\Gamma _{ji}^{b}-\partial _{j}\Gamma _{bi}^{b}+\Gamma _{bc}^{b}\Gamma _{ji}^{c}-\Gamma _{jc}^{b}\Gamma _{bi}^{c}}$ , $=$

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }={\frac {1}{2}}g^{\rho \lambda }(g_{\alpha \lambda ,\beta }+g_{\lambda \beta ,\alpha }-g_{\beta \alpha ,\lambda })}$ . =

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$ $V(R)=c_{m}R^{m}$ =

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ $({\mathcal {M}},\{\phi _{\alpha }\},g)$ =

VER:

Tensor de curvatura de Ricci .

Tensor de curvatura de RiEMAN .

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z

, =

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

{R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }=\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },R\left(\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{v}\right)\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle =\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle

Em geometria diferencial, tensor de curvatura é uma das noções métricas mais importantes. Um tensor de curvatura é uma generalização da curvatura de Gauss em dimensões mais altas (dois exemplos disto são o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci).

A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimensão ≥ 3 é demasiado complicada para ser descrita totalmente por um número em um ponto dado (tal como sucede quando a dimensão é menor ou igual a 2). Assim em 2 dimensões a curvatura pode ser representada por um número escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimensões a curvatura pode ser representada por um tensor de segunda ordem (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimensões totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer número de dimensões mediante um "pequeno monstro" de tensor, chamado tensor de Riemann.

Descrição[editar | editar código-fonte]

Definição geral[editar | editar código-fonte]

Seja $�$ uma variedade diferenciável dotada de uma conexão $\nabla$ , definida em um ponto $�$ da variedade. O tensor de Riemann é o campo tensorial $�$ de tipo (1,3) que satisfaz a igualdade

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$ ,

em que $�, �, �$ são campos vetoriais em $M_{p}$ , sendo $[X,Y]$ o colchete de Lie dos campos vetoriais. $R(X,Y)Z$ é linear em $�, �, �$ , de modo que o valor de $R(X,Y)Z$ em $�$ só depende dos valores de $�, �$ e $�$ em $�$ .^[1] É importante destacar que o tensor de Riemann é algumas vezes representado pelo sinal oposto.

O teorema de Schwarz afirma que no espaço euclidiano as derivadas parciais comutam: este fato não é verdade em uma variedade com conexão arbitrária, e o tensor de Riemann leva isso em consideração. Então, é possível interpretar o tensor de curvatura de Riemann como o modo de medir o quanto a variedade $�$ difere de um espaço euclidiano, ou de um espaço de Minkowski no contexto da relatividade. Logo, um espaço é dito plano quando o tensor de Riemann é zero.

Considerando um sistema de coordenadas $\{x^{i}\}$ , em que $X=\partial /\partial x^{i}$ e $Y=\partial /\partial x^{j}$ . Então, $[X,Y]=0$ e portanto a fórmula simplifica como

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{X}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z

ou seja, neste caso o tensor de curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.^[2]

Expressão em coordenadas[editar | editar código-fonte]

Considerando a base coordenada $\{\mathbf {e} _{\mu }\}$ e sua correspondente dual $\{\mathrm {d} x^{\kappa }\}$ , o tensor de Riemann pode ser expresso como

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

{R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }=\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },R\left(\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{v}\right)\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle =\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle

em que $\langle .,.\rangle$ representa o produto interno.

Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

{R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }={\partial _{\mu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \lambda }}-{\partial _{\nu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \lambda }}+{\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \eta }-{\Gamma ^{\eta }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \eta }

sendo $\nabla _{v}\mathbf {e} _{\lambda }={\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }\mathbf {e} _{\eta }$ .^[3]

Comutadores e índices[editar | editar código-fonte]

Dado um quadrivetor genérico $�$ , o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,^[4]

[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }A^{\rho }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }-{T^{\lambda }}_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\rho }

no qual ${T^{\lambda }}_{\mu \nu }$ é o tensor de torção.

Considerando o caso em que não há torção, isto é,

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }

o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade $�$ quando o vetor $�$ é transportado do ponto $�$ para um ponto $�$ , primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.^[5]

Versão covariante[editar | editar código-fonte]

O tensor métrico covariante $g_{\rho \zeta }$ pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante $g^{\rho \zeta }$ pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Simetrias algébricas[editar | editar código-fonte]

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=-{R^{\rho }}_{\sigma \nu \mu }

R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu }

Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }

e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }

Primeira identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

Na ausência de torção, temos:

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

R_{\rho \sigma \mu \nu }+R_{\rho \nu \sigma \mu }+R_{\rho \mu \nu \sigma }=0

Esta relação também pode ser escrita mais como

$T^{\nu }{}_{\alpha }$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ + $({\frac {\pi }{2}})^{1/2}$ .+ ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $\psi$

R_{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0

em que $[\sigma \mu \nu ]$ indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

Componentes independentes[editar | editar código-fonte]

Embora o tensor de Riemann tenha $n^{4}$ componentes, em que $�$ é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a ${\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)$ componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.^[6]

Segunda identidade de Bianchi[editar | editar código-fonte]

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0

Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como^[4]

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

\nabla _{[\lambda }R_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0

Tensor de curvatura de Ricci[editar | editar código-fonte]

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.

$T^{\nu }{}_{\alpha }$

{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}

({\frac {\pi }{2}})^{1/2}

{\frac {\pi }{2}}t^{2}

$\psi$

\underbrace {\operatorname {R} _{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {\operatorname {R} ^{c}{}_{acb}} _{\text{Riemann}}=g^{cd}\underbrace {\operatorname {R} _{cadb}} _{\text{Riemann}}

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Tensor de curvatura de Ricci .

Tensor de curvatura de RiEMAN .

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